Jika integrasi menggunakan cara substitusi tidak berhasil, maka kita dapat menggunakan cara lain, yaitu integrasi parsial integration by parts, atau seringnya disebut sebagai integral parsial. Cara ini didasari oleh aturan hasil kali turunan dari dua buah fungsi. Misalkan $u = ux$ dan $v = vx$, maka $$D_x\left[uv\right] = uv’ + uv’$$atau $$uv’ = D_x\left[uv\right]-vu’.$$Dengan mengintegralkan kedua persamaan di atas terhadal variabel $x$, kita peroleh $$\displaystyle \int uv’~\text{d}x = uv-\int vu’~\text{d}x.$$Karena $\text{d}v = v'x~\text{d}x$ dan $\text{d}u = u'x~\text{d}x,$ persamaan terakhir di atas biasanya ditulis dalam bentuk berikut. $$\boxed{\large{\displaystyle \int u~\text{d}v = uv-\int v~\text{d}u}}$$Rumus yang bersesuaian untuk integral tentu dengan batas bawah $a$ dan batas atas $b$ adalah $$\boxed{\large{\displaystyle \int_a^b u~\text{d}v = \left[uv\right]_a^b-\int_a^b v~\text{d}u}}$$ Rumus di atas memperkenankan kita mengubah soal integrasi $u~\text{d}v$ menjadi integrasi $v~\text{d}u$. Keberhasilan cara ini sebenarnya juga bergantung pada kecakapan kita dalam memilih bentuk yang tepat untuk dimisalkan sebagai $u$ dan $\text{d}v$. Kecakapan ini dapat dilatih dengan terus menerus latihan soal serupa. Gambar berikut mengilustrasikan interpretasi penafsiran secara geometris dari integrasi parsial. Saat menggunakan metode integral parsial, kita mungkin sering dibuat bingung dengan permisalan $u$. Kunci pemilihan $u$ yang benar pada bentuk integran pada umumnya adalah turunan ke sekiannya harus bernilai konstan hanya memuat bilangan, tidak memuat variabel lagi. Turunan ke sekian di sini tidak berarti harus turunan pertama, bisa jadi turunan kedua, turunan ketiga, dan seterusnya. Sebagai contoh, diberikan integral berikut. $$\displaystyle \int \tan x \cdot x~\text{d}x$$Integrannya terdiri dari perkalian dua buah fungsi, yaitu $fx = \tan x$ dan $gx = x$. Permisalan fungsi yang dipilih sebagai $u$ seharusnya $gx = x$ , karena turunan pertamanya $g'x = 1$ berupa konstan. Baca Juga Soal dan Pembahasan – Integral dengan Metode Substitusi Aljabar dan Trigonometri Meskipun demikian, ada beberapa kasus yang memaksa kita menggunakan permisalan $u$ untuk fungsi yang turunannya tidak pernah konstan, misalnya $$\displaystyle \int e^x \sin x~\text{d}x$$di mana pemilihan $u$ yang tepat adalah $u = e^x$, padahal turunan dari $e^x$ akan tetap dan selalu $e^x$. Soal ini akan dibahas penyelesaiannya di bawah secara rinci. Berikut ini tabel turunan yang mungkin dapat dijadikan sebagai acuan untuk mengerjakan soal integral parsial. $$\begin{array}{cc} \hline \color{red}{fx} & \color{blue}{f'x} \\ \hline x^r & rx^{r-1} \\ \hline \sin x & \cos x \\ \hline \cos x & -\sin x \\ \hline \tan x & \sec^2 x \\ \hline \cot x & -\csc^2 x \\ \hline \sec x & \sec x \tan x \\ \hline \csc x & -\csc x \cot x \\ \hline \ln x & \dfrac{1}{x} \\ \hline e^x & e^x \\ \hline \arcsin x & \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\ \hline \arccos x & -\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\ \hline \arctan x & \dfrac{1}{1+x^2} \\ \hline \end{array}$$ Berikut ini beberapa soal mengenai penggunaan cara integrasi parsial yang telah disertai pembahasan. Perlu diperhatikan bahwa keterampilan mengintegralkan fungsi dengan menggunakan sifat-sifat dasar integral dan teknik substitusi harus diasah terlebih dahulu sebelum mengerjakan soal-soal integral parsial. Baca Juga Soal dan Pembahasan – Integral Tentu Today Quote You can’t go back and change the beginning, but you can start where you are and change the ending. Bagian Pilihan Ganda Soal Nomor 1 Hasil dari $\displaystyle \int xx+4^5~\text{d}x = \cdots \cdot$ A. $\dfrac{1}{21} 3x-2x+4^6 + C$ B. $\dfrac{1}{21} 3x+2x+4^6 + C$ C. $\dfrac{1}{21} 3x-2x-4^6 + C$ D. $\dfrac{1}{42} 3x-2x+4^6 + C$ E. $\dfrac{1}{42} 3x+2x+4^6 + C$ Pembahasan Misalkan $$\begin{aligned} u = x & \Rightarrow \text{d}u = \text{d}x \\ \text{d}v = x+4^5~\text{d}x & \Rightarrow v = \dfrac16x+4^6 \end{aligned}$$Dengan menggunakan rumus integrasi parsial, kita peroleh $$\begin{aligned} \displaystyle \int \underbrace{x}_{u}~\underbrace{x+4^5~\text{d}x}_{\text{d}v} & = \underbrace{x}_{u} \cdot \underbrace{\dfrac16x+4^6}_{v}- \int \underbrace{\dfrac16x+4^6}_{v} \cdot~\underbrace{\text{d}x}_{\text{d}u} \\ & = \dfrac16xx+4^6-\dfrac16 \cdot \dfrac17x+4^7 + C \\ & = \dfrac16xx+4^6-\dfrac{1}{42}x+4^7 + C \\ & = \dfrac{1}{42}x+4^67x-x+4 + C \\ & = \dfrac{1}{42}x+4^66x-4 + C \\ & = \dfrac{1}{21}3x-2x+4^6 + C \end{aligned}$$Jadi, hasil dari $$\boxed{\displaystyle \int xx+4^5~\text{d}x = \dfrac{1}{21}3x-2x+4^6 + C}$$Jawaban A [collapse] Soal Nomor 2 Hasil dari $\displaystyle \int t\sqrt[3]{2t+7}~\text{d}t$ adalah $\cdots \cdot$ A. $\dfrac{3}{112}2t+7^{4/3}8t-21+C$ B. $\dfrac{3}{112}2t+7^{7/3}8t-21+C$ C. $\dfrac{3}{112}2t+7^{4/3}8t+21+C$ D. $\dfrac{9}{112}2t+7^{4/3}8t-21+C$ E. $\dfrac{9}{112}2t+7^{7/3}8t-21+C$ Pembahasan Misalkan $$\begin{aligned} u & = t \Rightarrow \text{d}u = \text{d}t \\ \text{d}v & = \sqrt[3]{2t+7}~\text{d}t \end{aligned}$$Dengan mengintegralkan $\text{d}v$ menggunakan metode substitusi, dalam hal ini, $u = 2t + 7$, diperoleh $$\begin{aligned} v & = \displaystyle \int \sqrt[3]{2t+7}~\text{d}t \\ & = \dfrac12 \int u^{1/3}~\text{d}u \\ & = \dfrac12 \cdot \dfrac34 \cdot u^{4/3} \\ & = \dfrac382t+7^{4/3} \end{aligned}$$Catatan Konstanta $C$ tidak perlu ditulis. Dengan menggunakan rumus integrasi parsial, kita peroleh $$\begin{aligned} \displaystyle \int \underbrace{t}_{u} \underbrace{\sqrt[3]{2t+7}~\text{d}t}_{\text{d}v} & = \underbrace{t}_{u} \cdot \underbrace{\dfrac382t+7^{4/3}}_{v}- \int \underbrace{\dfrac382t+7^{4/3}}_{v}~\underbrace{\text{d}t}_{\text{d}u} \\ & = \dfrac38t2t+7^{4/3}-\dfrac38 \cdot \dfrac12 \cdot \dfrac372t+7^{7/3} + C \\ & = \dfrac{42}{112}t2t+7^{4/3}-\dfrac{9}{112}2t+7^{7/3}+C \\ & = \dfrac{3}{112}2t+7^{4/3}14t-32t+7+C \\ & = \dfrac{3}{112}2t+7^{4/3}8t-21 + C \end{aligned}$$Jadi, hasil dari $$\boxed{\displaystyle \int t\sqrt[3]{2t+7}~\text{d}t =\dfrac{3}{112}2t+7^{4/3}8t-21 + C}$$Jawaban A [collapse] Baca Juga Soal dan Pembahasan – Integral dengan Metode Substitusi Aljabar dan Trigonometri Soal Nomor 3 Hasil dari $\displaystyle \int t \sqrt{t+1}~\text{d}t$ adalah $\cdots \cdot$ A. $\dfrac23tt+1^{3/2}-\dfrac{4}{15}t+1^{5/2} + C$ B. $\dfrac23tt+1^{3/2}+\dfrac{4}{15}t+1^{5/2} + C$ C. $\dfrac32tt+1^{3/2}-\dfrac{4}{15}t+1^{5/2} + C$ D. $\dfrac32tt+1^{3/2}+\dfrac{4}{15}t+1^{5/2} + C$ E. $\dfrac23tt+1^{5/2}-\dfrac{4}{15}t+1^{3/2} + C$ Pembahasan Misalkan $$\begin{aligned} u = t & \Rightarrow \text{d}u = \text{d}t \\ \text{d}v = \sqrt{t+1}~\text{d}t & \Rightarrow v = \displaystyle \sqrt{t+1}~\text{d}t = \dfrac23t+1^{3/2} \end{aligned}$$Dengan menggunakan rumus integrasi parsial, kita peroleh $$\begin{aligned} \displaystyle \int \underbrace{t}_{u} \underbrace{\sqrt{t+1}~\text{d}t}_{\text{d}v} & = \underbrace{t}_{u} \cdot \underbrace{\dfrac23t+1^{3/2}}_{v}-\int \underbrace{\dfrac23t+1^{3/2}}_{v}~\underbrace{\text{d}t}_{\text{d}u} \\ & = \dfrac23tt+1^{3/2}-\dfrac23 \cdot \dfrac25t+1^{5/2} + C \\ & = \dfrac23tt+1^{3/2}-\dfrac{4}{15}t+1^{5/2} + C \end{aligned}$$Jadi, hasil dari $$\boxed{\displaystyle \int t\sqrt{t+1}~\text{d}t = \dfrac23tt+1^{3/2}-\dfrac{4}{15}t+1^{5/2} + C}$$Jawaban A [collapse] Soal Nomor 4 Nilai dari $\displaystyle \int_{-1}^0 \dfrac{t}{3t+4^3}~\text{d}t = \cdots \cdot$ A. $-\dfrac12$ C. $-\dfrac16$ E. $-\dfrac{1}{16}$ B. $-\dfrac14$ D. $-\dfrac18$ Pembahasan Misalkan $$\begin{aligned} u = t & \Rightarrow \text{d}u = \text{d}t \\ \text{d}v & = \dfrac{1}{3t+4^3}~\text{d}t \end{aligned}$$Dengan mengintegralkan $\text{d}v$ menggunakan metode substitusi, dalam hal ini, $u = 3t + 4$, diperoleh $$\begin{aligned} v & = \displaystyle \int \dfrac{1}{3t+4^3}~\text{d}t \\ & = \dfrac13 \int u^{-3}~\text{d}u \\ & = \dfrac13 \cdot \dfrac{1}{-2} \cdot u^{-2} \\ & = -\dfrac{1}{63t+4^2} \end{aligned}$$Catatan Konstanta $C$ tidak perlu ditulis. Dengan menggunakan rumus integrasi parsial untuk integral tentu, kita peroleh $$\begin{aligned} \displaystyle \int_{-1}^0 \dfrac{t}{3t+4^3}~\text{d}t & = \left[t \cdot \left-\dfrac{1}{63t+4^2}\right\right]_{-1}^0-\int_{-1}^0 -\dfrac{1}{63t+4^2}~\text{d}t \\ & = 0-\left-1 \cdot \dfrac{-1}{61^2}\right + \dfrac16 \cdot \dfrac13 \cdot \dfrac{1}{-1} \cdot \left[\dfrac{1}{3t+4}\right]_{-1}^0 \\ & = -\dfrac16-\dfrac{1}{18}\left[\dfrac14-1\right] \\ & = -\dfrac16-\dfrac{1}{\cancelto{6}{18}} \cdot \left-\dfrac{\cancel{3}}{4}\right \\ & = -\dfrac16+\dfrac{1}{24} = -\dfrac18 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $$\boxed{\displaystyle \int_{-1}^0 \dfrac{t}{3t+4^3}~\text{d}t = -\dfrac18}$$Jawaban D [collapse] Soal Nomor 5 Hasil dari $\displaystyle \int x \cos x~\text{d}x = \cdots \cdot$ A. $x \cos x + \sin x + C$ B. $x \sin x + \cos x + C$ C. $x \cos x-\sin x + C$ D. $x \sin x- \cos x + C$ E. $x \cos x-\cos x+C$ Pembahasan Kita tuliskan $x \cos x~\text{d}x$ sebagai $u~\text{d}v$. Misalkan $$\begin{aligned} u = x & \Rightarrow \text{d}u = \text{d}x \\ \text{d}v = \cos x~\text{d}x & \Rightarrow v = \sin x \end{aligned}$$Dengan menggunakan rumus integrasi parsial, kita peroleh $$\begin{aligned} \displaystyle \int \underbrace{x}_{u} \underbrace{\cos x~\text{d}x}_{\text{d}v} & = \underbrace{x}_{u} \underbrace{\sin x}_{v}- \int \underbrace{\sin x}_{v}~\underbrace{\text{d}x}_{\text{d}u} \\ & = x \sin x-\cos x+C \\ & = x \sin x + \cos x + C \end{aligned}$$Jadi, hasil dari $$\boxed{\displaystyle \int x \cos x~\text{d}x =x \sin x + \cos x + C}$$Jawaban B [collapse] Baca Juga Soal dan Pembahasan – Jumlah Riemann Soal Nomor 6 Hasil dari $\displaystyle \int x \sin 2x~\text{d}x = \cdots \cdot$ A. $-\dfrac12 \cos 2x + \dfrac14 \sin 2x + C$ B. $\dfrac12 \cos 2x + \dfrac14 \sin 2x + C$ C. $-\dfrac12 \cos 2x-\dfrac14 \sin 2x + C$ D. $\dfrac14 \cos 2x + \dfrac12 \sin 2x + C$ E. $-\dfrac12 \sin 2x-\dfrac14 \cos 2x + C$ Pembahasan Misalkan $$\begin{aligned} u = x & \Rightarrow \text{d}u = \text{d}x \\ \text{d}v = \sin 2x~\text{d}x & \Rightarrow v = -\dfrac12 \cos 2x \end{aligned}$$Dengan menggunakan rumus integrasi parsial, kita peroleh $$\begin{aligned} \displaystyle \int \underbrace{x}_{u} \underbrace{\sin 2x~\text{d}x}_{\text{d}v} & = \underbrace{x}_{u} \cdot \left\underbrace{-\dfrac12 \cos 2x}_{v}\right- \int \underbrace{-\dfrac12 \cos 2x}_{v}~\underbrace{\text{d}x}_{\text{d}u} \\ & = -\dfrac12x \cos 2x + \dfrac12 \cdot \dfrac12 \sin 2x + C \\ & = -\dfrac12x \cos 2x + \dfrac14 \sin 2x + C \end{aligned}$$Jadi, hasil dari $$\boxed{\displaystyle \int x \sin 2x~\text{d}x = -\dfrac12x \cos 2x + \dfrac14 \sin 2x + C}$$Jawaban A [collapse] Soal Nomor 7 Hasil dari $\displaystyle \int x^2-1 \cos x~\text{d}x = \cdots \cdot$ A. $x^2-1 \sin x + 2x \cos x + C$ B. $x^2+1 \sin x + 2x \cos x + C$ C. $x^2-3 \sin x + 2x \cos x + C$ D. $x^2+3 \sin x + 2x \cos x + C$ E. $x^2+3 \sin x -2x \cos x + C$ Pembahasan Misalkan $$\begin{aligned} u = x^2-1 & \Rightarrow \text{d}u = 2x~\text{d}x \\ \text{d}v = \cos x~\text{d}x & \Rightarrow v = \sin x\end{aligned}$$Dengan menggunakan rumus integrasi parsial, kita peroleh $$\begin{aligned} \displaystyle \int \underbrace{x^2-1}_{u}~\underbrace{\cos x~\text{d}x}_{\text{d}v} & = \underbrace{x^2-1}_{u} \cdot \underbrace{\sin x}_{v}- \int \underbrace{\sin x}_{v} \cdot~\underbrace{2x~\text{d}x}_{\text{d}u} \\ & = x^2-1 \sin x-2 \color{red}{\int x~\sin x~\text{d}x} \end{aligned}$$Untuk mengintegralkan bentuk yang ditandai dengan warna merah di atas, gunakan kembali rumus integral parsial untuk $$\begin{aligned} u = x & \Rightarrow \text{d}u = \text{d}x \\ \text{d}v = \sin x~\text{d}x & \Rightarrow v = -\cos x\end{aligned}$$Kita akan peroleh $$\begin{aligned} x^2-1 \sin x-2 \color{red}{\int x~\sin x~\text{d}x} & = x^2-1 \sin x-2\left[x-\cos x-\int -\cos x~\text{d}x\right] \\ & = x^2-1 \sin x-2\left-x \cos x+\sin x\right+C \\ & = x^2-1 \sin x+2x \cos x-2 \sin x+C \\ & = x^2-3 \sin x + 2x \cos x + C \end{aligned}$$Jadi, hasil dari $$\boxed{\displaystyle \int x^2-1 \cos x~\text{d}x = x^2-3 \sin x+2x \cos x + C}$$Jawaban C [collapse] Soal Nomor 8 Misalkan $$\displaystyle \int t-3 \cos t-3~\text{d}t$$ sama dengan $$at-b \sin t-3 + c \cos t-3 + C$$ untuk suatu bilangan real $a, b, c$. Nilai dari $a + b + c = \cdots \cdot$ A. $-5$ C. $1$ E. $5$ B. $-3$ D. $3$ Pembahasan Misalkan $$\begin{aligned} u = t-3 & \Rightarrow \text{d}u = \text{d}t \\ \text{d}v = \cos t-3~\text{d}t & \Rightarrow v = \sin t-3 \end{aligned}$$Dengan menggunakan rumus integral parsial, diperoleh $$\begin{aligned} \displaystyle \int \underbrace{t-3}_{u} \underbrace{\cos t-3~\text{d}t}_{\text{d}v} & = \underbrace{t-3}_{u} \cdot \underbrace{\sin t-3}_{v}- \int \underbrace{\sin t-3}_{v}~\underbrace{\text{d}t}_{\text{d}u} \\ & = t-3 \sin t-3+\cos t-3 + C \end{aligned}$$Dari bentuk terakhir, diperoleh nilai $a = 1$, $b = 3$, dan $c = 1$ sehingga $\boxed{a+b+c = 1+3+1 = 5}$ Jawaban E [collapse] Baca Juga Soal dan Pembahasan – Luas Daerah Menggunakan Integral Soal Nomor 9 Hasil dari $\displaystyle \int \ln 3x~\text{d}x$ adalah $\cdots \cdot$ A. $x \ln 3x-x + C$ B. $3x \ln 3x-x + C$ C. $3x \ln 3x-3x + C$ D. $x \ln 3x+x + C$ E. $x \ln 3x+3x + C$ Pembahasan Misalkan $$\begin{aligned} u = \ln 3x = \ln 3 + \ln x & \Rightarrow \text{d}u = \dfrac{1}{x}~ \text{d}x \\ \text{d}v = \text{d}x & \Rightarrow v = x \end{aligned}$$Dengan menggunakan rumus integral parsial, diperoleh $$\begin{aligned} \displaystyle \int \underbrace{\ln 3x}_{u} \underbrace{\text{d}x}_{\text{d}v} & = \underbrace{\ln 3x}_{u} \cdot \underbrace{x}_{v}- \int \underbrace{x}_{v}\cdot ~\underbrace{\dfrac{1}{x}~\text{d}x}_{\text{d}u} \\ & = x \ln 3x-\int \text{d}x \\ & = x \ln 3x-x + C \end{aligned}$$Jadi, hasil dari $$\boxed{\displaystyle \int \ln 3x~\text{d}x = x \ln 3x-x + C}$$Jawaban A [collapse] Soal Nomor 10 Hasil dari $\displaystyle \int x \cdot e^x~\text{d}x$ adalah $\cdots \cdot$ A. $x \cdot e^x+e^x + C$ B. $x \cdot e^x-e^x + C$ C. $-x \cdot e^x-e^x + C$ D. $e^x-x \cdot e^x + C$ E. $x \cdot e^x + C$ Pembahasan Misalkan $$\begin{aligned} u = x & \Rightarrow \text{d}u = \text{d}x \\ \text{d}v = e^x~\text{d}x & \Rightarrow v = e^x \end{aligned}$$Dengan menggunakan rumus integrasi parsial, kita peroleh $$\begin{aligned} \displaystyle \int \underbrace{x}_{u} \underbrace{e^x~\text{d}x}_{\text{d}v} & = \underbrace{x}_{u} \cdot \underbrace{e^x}_{v}- \int \underbrace{e^x}_{v}~\underbrace{\text{d}x}_{\text{d}u} \\ & = x \cdot e^x-e^x+C \end{aligned}$$Jadi, hasil dari $$\boxed{\displaystyle \int x \cdot e^x~\text{d}x = x \cdot e^x-e^x+C}$$Jawaban B [collapse] Soal Nomor 11 Hasil dari $\displaystyle \int t \cdot e^{5t+\pi}~\text{d}t$ adalah $\cdots \cdot$ A. $\dfrac{1}{25}te^{5t+\pi}+\dfrac15e^{5t+\pi}+C$ B. $\dfrac{1}{25}te^{5t+\pi}-\dfrac15e^{5t+\pi}+C$ C. $\dfrac{1}{5}te^{5t+\pi}+\dfrac{1}{25}e^{5t+\pi}+C$ D. $\dfrac{1}{5}te^{5t+\pi}-\dfrac{1}{25}e^{5t+\pi}+C$ E. $\dfrac{1}{25}te^{5t+\pi}-\dfrac{1}{25}e^{5t+\pi}+C$ Pembahasan Misalkan $$\begin{aligned} u = t & \Rightarrow \text{d}u = \text{d}t \\ \text{d}v = e^{5t+\pi}~\text{d}t & \Rightarrow v = \dfrac15e^{5t+\pi} \end{aligned}$$Dengan menggunakan rumus integrasi parsial, kita peroleh $$\begin{aligned} \displaystyle \int \underbrace{t}_{u} \underbrace{e^{5t+\pi}~\text{d}t}_{\text{d}v} & = \underbrace{t}_{u} \cdot \underbrace{\dfrac15e^{5t+\pi}}_{v}- \int \underbrace{\dfrac15e^{5t+\pi}}_{v}~\underbrace{\text{d}t}_{\text{d}u} \\ & = \dfrac15te^{5t+\pi}-\dfrac15 \cdot \dfrac15e^{5t+\pi} + C \\ & = \dfrac15te^{5t+\pi}-\dfrac{1}{25}e^{5t+\pi} + C \end{aligned}$$Jadi, hasil dari $$\boxed{\displaystyle \int t \cdot e^{5t+\pi}~\text{d}t = \dfrac15te^{5t+\pi}-\dfrac{1}{25}e^{5t+\pi} + C}$$Jawaban D [collapse] Baca Juga Soal dan Pembahasan – Volume Benda Putar Menggunakan Integral Bagian Uraian Soal Nomor 1 Carilah hasil dari $\displaystyle \int \dfrac{2x+5}{x-2^3}~\text{d}x.$ Pembahasan Misalkan $$\begin{aligned} u = 2x+5 & \Rightarrow \text{d}u = 2~\text{d}x \\ \text{d}v =\dfrac{1}{x-2^3}~\text{d}x & \Rightarrow v = -\dfrac{1}{2x-2^2} \end{aligned}$$Dengan menggunakan rumus integrasi parsial, kita peroleh $$\begin{aligned} \displaystyle \int \dfrac{2x+5}{x-2^3}~\text{d}x & = \int \underbrace{2x+5}_{u} \cdot ~\underbrace{\dfrac{1}{x-2^3}~\text{d}x}_{\text{d}v} \\ & = \underbrace{2x+5}_{u} \cdot \left\underbrace{-\dfrac{1}{2x-2^2}}_{v}\right- \int \underbrace{-\dfrac{1}{\cancel{2}x-2^2}}_{v} \cdot~\underbrace{\cancel{2}~\text{d}x}_{\text{d}u} \\ & = -\dfrac{2x+5}{2x-2^2}+\int \dfrac{1}{x-2^2}~\text{d}x \\ & = -\dfrac{2x+5}{2x-2^2}-\dfrac{1}{x-2}+C \\ & = -\dfrac{2x+5}{2x-2^2}-\dfrac{2x-2}{2x-2^2} + C \\ & = -\dfrac{4x+1}{2x-2^2} + C \end{aligned}$$Jadi, hasil dari $$\boxed{\displaystyle \int \dfrac{2x+5}{x-2^3}~\text{d}x = -\dfrac{4x+1}{2x-2^2} + C}$$ [collapse] Soal Nomor 2 Carilah hasil dari $\displaystyle \int \dfrac{7t}{2t-1^5}~\text{d}t.$ Pembahasan Perhatikan bahwa bentuk integran di atas dapat ditulis kembali menjadi $$\displaystyle 7 \int t2t-1^{-5}~\text{d}t.$$Misalkan $$\begin{aligned} u & = t \Rightarrow \text{d}u = \text{d}t \\ \text{d}v & = 2t-1^{-5}~\text{d}t \end{aligned}$$Dengan mengintegralkan $\text{d}v$ menggunakan metode substitusi, dalam hal ini, $u = 2t-1$, diperoleh $$\begin{aligned} v & = \displaystyle \int 2t-1^{-5}~\text{d}t \\ & = \dfrac12 \cdot \dfrac{1}{-4} 2t-1^{-4} \\ & = -\dfrac18 2t-1^{-4} \end{aligned}$$Catatan Konstanta $C$ tidak perlu ditulis. Dengan menggunakan rumus integrasi parsial, kita peroleh $$\begin{aligned} \displaystyle 7 \int \underbrace{t}_{u} \underbrace{2t-1^{-5}~\text{d}t}_{\text{d}v} & = 7\left[\underbrace{t}_{u} \cdot \left\underbrace{-\dfrac182t-1^{-4}}_{v}\right- \int \underbrace{-\dfrac182t-1^{-4}}_{v}~\underbrace{\text{d}t}_{\text{d}u}\right] \\ & = -\dfrac78t2t-1^{-4} + 7 \cdot \dfrac18 \cdot \dfrac12 \cdot \dfrac{1}{-3} 2t-1^{-3} + C \\ & = -\dfrac78t2t-1^{-4}-\dfrac{7}{48}2t-1^{-3} + C \\ & = -\dfrac{7}{48}2t-1^{-3}\left6t2t-1^{-1} + 1\right + C \\ & = -\dfrac{7}{482t-1^3}\left\dfrac{6t}{2t-1}+\dfrac{2t-1}{2t-1}\right+C \\ & = -\dfrac{78t-1}{482t-1^4}+C \end{aligned}$$Jadi, hasil dari $$\boxed{\displaystyle \int \dfrac{7t}{2t-1^5}~\text{d}t = -\dfrac{78t-1}{482t-1^4}+C}$$ [collapse] Soal Nomor 3 Carilah hasil dari $\displaystyle \int t^3~\sin t~\text{d}t.$ Pembahasan Untuk mencari hasil integral tersebut, kita akan menggunakan teknik integral parsial sebanyak $3$ kali. Misalkan $$\begin{aligned} u = t^3 & \Rightarrow \text{d}u = 3t^2 ~\text{d}t \\ \text{d}v = \sin t~\text{d}t & \Rightarrow v = -\cos t\end{aligned}$$Dengan menggunakan rumus integrasi parsial, kita peroleh $$\begin{aligned} \displaystyle \int \underbrace{t^3}_{u} \underbrace{\sin t~\text{d}t}_{\text{d}v} & = \underbrace{t^3}_{u} \cdot \left\underbrace{-\cos t}_{v}\right- \int \underbrace{-\cos t}_{v}~\underbrace{3t^2~\text{d}t}_{\text{d}u} \\ & = -t^3 \cos t + 3 \color{red}{\int t^2~\cos t~\text{d}t} \end{aligned}$$Sekarang, misalkan $$\begin{aligned} u = t^2 & \Rightarrow \text{d}u = 2t ~\text{d}t \\ \text{d}v = \cos t~\text{d}t & \Rightarrow v = \sin t\end{aligned}$$Dengan menggunakan rumus integrasi parsial, kita peroleh $$\begin{aligned} \displaystyle -t^3 \cos t + 3 \color{red}{\int t^2~\cos t~\text{d}t} & = -t^3 \cos t + 3\left[t^2 \sin t-\int \sin t \cdot 2t~\text{d}t\right] \\ & = -t^3 \cos t + 3t^2 \sin t-6 \color{red}{\int t \sin t~\text{d}t} \end{aligned}$$Terakhir, misalkan $$\begin{aligned} u = t & \Rightarrow \text{d}u = \text{d}t \\ \text{d}v = \sin t~\text{d}t & \Rightarrow v = -\cos t\end{aligned}$$Dengan menggunakan rumus integrasi parsial, kita peroleh $$\begin{aligned} & -t^3 \cos t + 3t^2 \sin t-6 \color{red}{\int t \sin t~\text{d}t} \\ & = -t^3 \cos t + 3t^2 \sin t-6\left[-t \cos t-\int -\cos t~\text{d}t\right] \\ & = -t^3 \cos t + 3t^2 \sin t+6t \cos t-6 \sin t \\ & = -t^3+6t~\cos t + 3t^2-6~\sin t + C \end{aligned}$$Jadi, hasil dari $$\boxed{\displaystyle \int t^3 \sin t~\text{d}t = -t^3+6t~\cos t + 3t^2-6~\sin t + C }$$ [collapse] Soal Nomor 4 Tentukan hasil dari integral tentu berikut. $$\displaystyle \int_{\pi/9}^{\pi/6} x \cos 3x~\text{d}x$$ Pembahasan Misalkan $$\begin{aligned} u = x & \Rightarrow \text{d}u = \text{d}x \\ \text{d}v = \cos 3x~\text{d}t & \Rightarrow v = \dfrac13 \sin 3x \end{aligned}$$Dengan menggunakan rumus integrasi parsial untuk integral tentu, kita peroleh $$\begin{aligned} \displaystyle & \int_{\pi/9}^{\pi/6} x \cos 3x~\text{d}x \\ & = \left[x \cdot \dfrac13 \sin 3x\right]_{\pi/9}^{\pi/6}-\displaystyle \int_{\pi/6}^{\pi/9} \dfrac13 \sin 3x~\text{d}x \\ & = \dfrac{\pi}{6} \cdot \dfrac13 \sin \dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{9} \cdot \dfrac13 \sin \dfrac{\pi}{3}-\dfrac13 \cdot \dfrac13 \left[-\cos 3x\right]_{\pi/9}^{\pi/6} \\ & = \dfrac{\pi}{18}1-\dfrac{\pi}{27} \cdot \dfrac12\sqrt3+\dfrac19\left\cos \dfrac{\pi}{2}-\cos \dfrac{\pi}{3}\right \\ & = \dfrac{\pi}{18}-\dfrac{\pi}{54}\sqrt3 + \dfrac19\left0-\dfrac12\right \\ & = \dfrac{\pi}{18}-\dfrac{\pi}{54}\sqrt3-\dfrac{1}{18} \\ & = \dfrac{3\pi}{54}-\dfrac{\pi}{54}\sqrt3-\dfrac{3}{54} \\ & = \dfrac{3-\sqrt3\pi-3}{54} \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $$\boxed{\displaystyle \int_{\pi/9}^{\pi/6} x \cos 3x~\text{d}x = \dfrac{3-\sqrt3\pi-3}{54}}$$ [collapse] Baca Juga Soal dan Pembahasan – Turunan Fungsi Aljabar Soal Nomor 5 Gunakan integrasi parsial untuk menurunkan rumus berikut. $$\displaystyle \int \sin x \sin 3x~\text{d}x = -\dfrac38 \sin x \cos 3x + \dfrac18 \cos x \sin 3x + C$$ Pembahasan Diberikan integral berikut. $$ \displaystyle \int \sin x \sin 3x~\text{d}x$$Akan ditunjukkan bahwa hasil integrasinya adalah $$-\dfrac38 \sin x \cos 3x + \dfrac18 \cos x \sin 3x + C$$menggunakan rumus integral parsial. Misalkan $$\begin{aligned} u = \sin x & \Rightarrow \text{d}u = \cos x~ \text{d}x \\ \text{d}v = \sin 3x~\text{d}x & \Rightarrow v = -\dfrac13 \cos 3x \end{aligned}$$Dengan menggunakan rumus integral parsial, diperoleh $$\begin{aligned} \displaystyle \int \underbrace{\sin x}_{u} \underbrace{\sin 3x~\text{d}x}_{\text{d}v} & = \underbrace{\sin x}_{u} \cdot \left\underbrace{-\dfrac13 \cos 3x}_{v}\right- \int \underbrace{-\dfrac13 \cos 3x}_{v} \cdot ~\underbrace{\cos x~\text{d}x}_{\text{d}u} \\ & = -\dfrac13 \sin x \cos 3x+\dfrac13 \int \cos 3x \cos x~\text{d}x \end{aligned}$$Gunakan rumus integral parsial sekali lagi pada bentuk $$\displaystyle \int \cos 3x \cos x~\text{d}x$$Misalkan $$\begin{aligned} u = \cos x & \Rightarrow \text{d}u = -\sin x~\text{d}x \\ \text{d}v = \cos 3x & \Rightarrow v = \dfrac13 \sin 3x \end{aligned}$$sehingga kita peroleh $$\begin{aligned} \displaystyle \int \sin x \sin 3x~\text{d}x & = -\dfrac13 \sin x \cos 3x+\dfrac13\left[\underbrace{\cos x}_{u} \cdot \left\underbrace{\dfrac13 \sin 3x}_{v}\right- \int \underbrace{\dfrac13 \sin 3x}_{v} \cdot ~\underbrace{-\sin x~\text{d}x}_{\text{d}u}\right] \\ \int \sin x \sin 3x~\text{d}x & = -\dfrac13 \sin x \cos 3x+\dfrac19 \cos x \sin 3x+\dfrac19 \int \sin 3x \sin x~\text{d}x \\ \dfrac89 \int \sin x \sin 3x~\text{d}x & = -\dfrac13 \sin x \cos 3x+\dfrac19 \cos x \sin 3x+K \\ \int \sin x \sin 3x~\text{d}x & = -\dfrac38 \sin x \cos 3x+\dfrac18 \cos x \sin 3x + C \end{aligned}$$Jadi, berdasarkan integrasi parsial, kita telah menurunkan rumus integral trigonometri berikut. $$\boxed{\displaystyle \int \sin x \sin 3x~\text{d}x = -\dfrac38 \sin x \cos 3x + \dfrac18 \cos x \sin 3x + C}$$ [collapse] Soal Nomor 6 Gunakan integrasi parsial untuk menurunkan rumus berikut. $$\displaystyle \int \cos 5x \sin 7x~\text{d}x = -\dfrac{7}{24} \cos 5x \cos 7x -\dfrac{5}{24} \sin 5x \sin 7x + C$$ Pembahasan Diberikan integral berikut. $$\displaystyle \int \cos 5x \sin 7x~\text{d}x$$Akan ditunjukkan bahwa hasil integrasinya adalah $$-\dfrac{7}{24} \cos 5x \cos 7x -\dfrac{5}{24} \sin 5x \sin 7x + C$$menggunakan rumus integral parsial. Misalkan $$\begin{aligned} u = \cos 5x & \Rightarrow \text{d}u = -5 \sin 5x~ \text{d}x \\ \text{d}v = \sin 7x~\text{d}x & \Rightarrow v = -\dfrac17 \cos 7x \end{aligned}$$Dengan menggunakan rumus integral parsial, diperoleh $$\begin{aligned} \displaystyle \int \underbrace{\cos 5x}_{u} \underbrace{\sin 7x~\text{d}x}_{\text{d}v} & = \underbrace{\cos 5x}_{u} \cdot \left\underbrace{-\dfrac17 \cos 7x}_{v}\right- \int \underbrace{-\dfrac17 \cos 7x}_{v} \cdot \underbrace{-5 \sin 5x~\text{d}x}_{\text{d}u} \\ & = -\dfrac17 \cos 5x \cos 7x-\dfrac57 \int \cos 7x \sin 5x~\text{d}x \end{aligned}$$Gunakan rumus integral parsial sekali lagi pada bentuk $$\displaystyle \int \cos 7x \sin 5x~\text{d}x$$Misalkan $$\begin{aligned} u = \sin 5x & \Rightarrow \text{d}u = 5 \cos 5x~\text{d}x \\ \text{d}v = \cos 7x & \Rightarrow v = \dfrac17 \sin 7x \end{aligned}$$sehingga kita peroleh $$\begin{aligned} \displaystyle \int \cos 5x \sin 7x~\text{d}x & = -\dfrac17 \cos 5x \cos 7x-\dfrac57\left[\underbrace{\sin 5x}_{u} \cdot \underbrace{\dfrac17 \sin 7x}_{v}- \int \underbrace{\dfrac17 \sin 7x}_{v} \cdot ~\underbrace{5 \cos 5x~\text{d}x}_{\text{d}u}\right] \\ \int \cos 5x \sin 7x~\text{d}x & = -\dfrac17 \cos 5x \cos 7x-\dfrac{5}{49} \sin 5x \sin 7x + \dfrac{25}{49} \int \cos 5x \sin 7x~\text{d}x \\ \dfrac{24}{49} \int \cos 5x \sin 7x~\text{d}x & = -\dfrac17 \cos 5x \cos 7x-\dfrac{5}{49} \sin 5x \sin 7x + K \\ \int \cos 5x \sin 7x~\text{d}x & = -\dfrac{7}{24} \cos 5x \cos 7x-\dfrac{5}{24} \sin 5x \sin 7x + C \end{aligned}$$Jadi, berdasarkan integrasi parsial, kita telah menurunkan rumus integral trigonometri berikut. $$\boxed{\displaystyle \int \cos 5x \sin 7x~\text{d}x = -\dfrac{7}{24} \cos 5x \cos 7x -\dfrac{5}{24} \sin 5x \sin 7x + C}$$ [collapse] Soal Nomor 7 Carilah hasil dari $\displaystyle \int e^x \sin x~\text{d}x.$ Pembahasan Misalkan $$\begin{aligned} u = e^x & \Rightarrow \text{d}u = e^x~\text{d}x \\ \text{d}v = \sin x~\text{d}x & \Rightarrow v = -\cos x \end{aligned}$$Dengan menggunakan rumus integrasi parsial, kita peroleh $$\displaystyle \int e^x \sin x~\text{d}x = -e^x \cos x + \color{red}{\int e^x \cos x~\text{d}x}~~~\cdots 1$$Selanjutnya, gunakan rumus integrasi parsial sekali lagi pada bentuk integralnya ditandai dengan warna merah di atas. $$\begin{aligned} u = e^x & \Rightarrow \text{d}u = e^x~\text{d}x \\ \text{d}v = \cos x~\text{d}x & \Rightarrow v = \sin x \end{aligned}$$Kita akan peroleh $$\displaystyle \int e^x \cos x~\text{d}x = e^x \sin x- \color{blue}{\int e^x \sin x~\text{d}x}$$Jika disubstitusikan pada persamaan $1$ di atas, kita peroleh $$\begin{aligned} \displaystyle \int e^x \sin x~\text{d}x & = -e^x \cos x + e^x \sin x-\int e^x \sin x~\text{d}x \\ 2 \int e^x \sin x~\text{d}x & = -e^x \cos x + e^x \sin x+C \\ \int e^x \sin x~\text{d}x & = \dfrac{ -e^x \cos x + e^x \sin x}{2}+K \\ \int e^x \sin x~\text{d}x & = \dfrac{e^x\sin x-\cos x}{2}+K \end{aligned}$$Catatan Perhatikan bahwa notasi konstanta berubah dari $C$ menjadi $K = \dfrac{C}{2}$. Penggunaan notasi konstanta bisa disesuaikan dengan memilih huruf kapital yang lain. Fakta bahwa integral yang hendak kita cari muncul kembali di ruas kanan membuat kita dapat mencari hasil integralnya. [collapse] Baca Juga Soal dan Pembahasan – Turunan Fungsi Trigonometri Soal Nomor 8 Hitunglah $\displaystyle \int \ln ax^b~\text{d}x$ untuk suatu $a, b$ anggota bilangan real. Pembahasan Misalkan $$\begin{aligned} u = \ln ax^b = \ln a + b \ln x & \Rightarrow \text{d}u = \dfrac{b}{x}~ \text{d}x \\ \text{d}v = \text{d}x & \Rightarrow v = x \end{aligned}$$Dengan menggunakan rumus integral parsial, diperoleh $$\begin{aligned} \displaystyle \int \underbrace{\ln ax^b}_{u} \underbrace{\text{d}x}_{\text{d}v} & = \underbrace{\ln ax^b}_{u} \cdot \underbrace{x}_{v}- \int \underbrace{x}_{v}\cdot ~\underbrace{\dfrac{b}{x}~\text{d}x}_{\text{d}u} \\ & = x \ln ax^b-\int b~\text{d}x \\ & = x \ln ax^b-bx + C \end{aligned}$$Jadi, hasil dari $$\boxed{\displaystyle \int \ln ax^b~\text{d}x = x \ln ax^b-bx + C}$$ [collapse] Soal Nomor 9 Hitunglah $\displaystyle \int \arctan x~\text{d}x.$ Pembahasan Misalkan $$\begin{aligned} u = \arctan x & \Rightarrow \text{d}u = \dfrac{1}{1+x^2}~ \text{d}x \\ \text{d}v = \text{d}x & \Rightarrow v = x \end{aligned}$$Dengan menggunakan rumus integral parsial, diperoleh $$\begin{aligned} \displaystyle \int \underbrace{\arctan x}_{u} \underbrace{\text{d}x}_{\text{d}v} & = \underbrace{\arctan x}_{u} \cdot \underbrace{x}_{v}- \int \underbrace{x}_{v} \cdot ~\underbrace{\dfrac{1}{1+x^2}~\text{d}x}_{\text{d}u} \\ & = x \arctan x-\int \dfrac{x}{1+x^2}~\text{d}x \end{aligned}$$Gunakan metode substitusi. Misalkan $u = 1+x^2$, maka $\text{d}u = 2x~\text{d}x$ sehingga diperoleh $$\begin{aligned} \displaystyle x \arctan x-\int \dfrac{x}{1+x^2}~\text{d}x & = x \arctan x-\dfrac12 \int \dfrac{1}{u}~\text{d}u \\ & = x \arctan x-\dfrac12 \ln u + C \\ & = x \arctan x-\dfrac12 \ln 1+x^2 + C \end{aligned}$$Jadi, hasil dari $$\boxed{\displaystyle \int \arctan x~\text{d}x = x \arctan x-\dfrac12 \ln 1+x^2 + C}$$ [collapse] Soal Nomor 10 Hitunglah nilai dari $\displaystyle \int_1^e \sqrt{t} \ln t~\text{d}t.$ Pembahasan Misalkan $$\begin{aligned} u = \ln t & \Rightarrow \text{d}u = \dfrac{1}{t}~ \text{d}t \\ \text{d}v = \sqrt{t}~\text{d}t & \Rightarrow v = \dfrac23t^{3/2} \end{aligned}$$Dengan menggunakan rumus integral parsial, diperoleh $$\begin{aligned} \displaystyle \int_1^e \underbrace{\ln t}_{u} \underbrace{\sqrt{t}~\text{d}t}_{\text{d}v} & = \left[\underbrace{\ln t}_{u} \cdot \underbrace{\dfrac23t^{3/2}}_{v}\right]_1^e- \int_1^e \underbrace{\dfrac23t^{3/2}}_{v} \cdot ~\underbrace{\dfrac{1}{t}~\text{d}t}_{\text{d}u} \\ & = \left[\dfrac23t^{3/2} \cdot \ln t\right]_1^e-\dfrac23 \int_1^e t^{1/2}~\text{d}t \\ & = \left[\dfrac23t^{3/2} \cdot \ln t\right]_1^e-\dfrac49 \left[t^{3/2}\right]_1^e \\ & = \left\dfrac23e^{3/2} \cdot \ln e-\dfrac23 \cdot 1^{3/2} \cdot \ln 1\right-\dfrac49\lefte^{3/2}-1^{3/2}\right \\ & = \left\dfrac23e^{3/2}-0\right-\dfrac49\lefte^{3/2}-1\right \\ & = \dfrac29e^{3/2}+\dfrac49 \\ & = \dfrac29\lefte^{3/2} + 2\right \end{aligned}$$Jadi, hasil dari $$\boxed{\displaystyle \int \sqrt{t} \ln t~\text{d}t = \dfrac29\lefte^{3/2} + 2\right}$$ [collapse] Soal Nomor 11 Carilah galat kesalahan dalam langkah pembuktian menggunakan integrasi parsial berikut bahwa $0 = 1.$ Untuk mengintegralkan $\displaystyle \int \dfrac{1}{t}~\text{d}t$, tetapkan permisalan berikut. $$\begin{aligned} u = \dfrac{1}{t} & \Rightarrow \text{d}u = -\dfrac{1}{t^2}~ \text{d}t \\ \text{d}v = \text{d}t & \Rightarrow v = t \end{aligned}$$Dengan menggunakan rumus integral parsial, kita peroleh $$\begin{aligned} \displaystyle \int \underbrace{\dfrac{1}{t}}_{u} \cdot \underbrace{\text{d}t}_{\text{d}v} & = \underbrace{\dfrac{1}{t}}_{u} \cdot \underbrace{t}_{v}- \int \underbrace{t}_{v} \cdot \underbrace{-\dfrac{1}{t^2}~\text{d}t}_{\text{d}u} \\ \int \dfrac{1}{t}~\text{d}t & = 1+\int \dfrac{1}{t}~\text{d}t \\ 0 & = 1 \end{aligned}$$ Pembahasan Dengan menggunakan aturan dasar integral tak tentu, kita seharusnya tahu bahwa $$\displaystyle \int fx~\text{d}x = Fx + C$$ untuk suatu konstanta $C$. Ini menunjukkan setiap proses pengintegrasian integral tak tentu, konstanta $C$ harus dimunculkan. Pada langkah terakhir pembuktian di atas, konstanta $C$ tidak dimunculkan. Misalkan hasil integralnya adalah $Fx + C_i$, maka diperoleh $$\begin{aligned} \cancel{Fx} + C_1 & = 1 + \cancel{Fx} + C_2 \\ C_1 & = 1 + C_2 \\ 0 & = 1 + C_2-C_1 \\ 0 & = 1 + C \end{aligned}$$Pernyataan ini akan benar apabila $C_2-C_1 = C = -1$. Catatan Pembuktian yang menghasilkan pernyataan yang keliru seperti kasus ini termasuk dalam ranah kelancungan matematis mathematical fallacy. [collapse]